Типовые динамические звенья и их передаточные функции

При исследовании устойчивости и качества АСР все элементы систем разбиваются не по функциональному или конструктивному признаку, а по динамическим свойствам элементов. Это дает возможность различные элементы, имеющие разные принципы действия и конструктивные оформления, описывать одинаковыми дифференциальными уравнениями.

Элементы, которые рассматриваются с точки зрения их динамических свойств, называются элементарными (типичными) динамическими звеньями. Любая АСР может быть разбита на элементарные звенья, переходные процессы которых описываются линейными дифференциальными уравнениями не выше второго порядка. Все реальные элементы автоматических систем регулирования можно разбить в основном на пять групп элементарных динамических звеньев: безынерционные, интегрируючи, инерционные, колебательные и дифференцирующие.

%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9Рисунок 1 — условное изображение элементарной (типовой) динамического звена (в дальнейшем просто звена), когда внутрь условного изображения звена вписывается вид переходного процесса.

Операторная форма записи дает возможность операции дифференцирования и интегрирования заменять простыми операциями алгебры над некоторым оператором р. Оператор р заменяет операцию дифференцирования по времени, то есть%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9. В результате можно решить дифференциальные уравнения алгебраически, то есть не используя сложную операцию интегрирования. Необходимо отметить, что при решении дифференциальных уравнений операторным методом осуществляется переход от данных функций (оригиналов) к их изображений. Этот переход обратный, то есть переход от изображений к оригиналам, осуществляется с помощью формулы Лапласа-Карсона, %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9(1.1)
где е = 2,71 … — основание натурального логарифма; x (t) — исходная функция времени.
Отметим, что на практике переход от оригиналов к изображениям и обратно осуществляется по таблицам изображений типичных функций, вычисленных по выражению (1.1). Например, оригинала%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9 соответствует изображения %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9или оригинала А соответствует изображение А.

%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9

Рисунок 2 

Пример 1. Поясним операторный запись дифференциального уравнения на простом примере RC-звена с резистора R сопротивлением 20 кОм и конденсатора С емкостью 5,0 мкФ. На вход контура подается постоянное напряжение Uвх = 27 В.

Задача: с помощью операторного метода найти аналитическое выражение исходной величины, то есть напряжение на конденсаторе Uвих= UС.
На основании второго закона Кирхгофа для активно-емкостного контура
і×R + Uвих = Uвх , где %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9— ток, протекающий в контуре конденсатора.
Подставив значения тока i в уравнение контура, получим дифференциальное уравнение %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9(*)
где RC=T = 20000×5,0×10-6 =0,1 — постоянная времени, характеризующая инерционность элемента.

Дифференциальное уравнение (*) составленное при нулевых начальных условиях, то есть при t = 0 первая производная выходного напряжения %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9.
Уравнение (*) является дифференциальным уравнением первого порядка с правой частью. В данном дифференциальном уравнении не только исходная величина пропорциональна входной, но также и ее производная%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9. Запишем полученное дифференциальное уравнение в операторной форме, заменив знак дифференцирования%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9 на оператора р         RC Uвих. p + Uвих = Uвх.
Откуда изображение исходной величины%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9.
Разделим на RC числитель и знаменатель полученного выражения.
Тогда%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9. И если принять%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9, то %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9.
Переходим с помощью соответствующей таблицы от изображения %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9к его оригиналу%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9. Итак, выходное напряжение или напряжение на конденсаторе будет изменяться по следующему закону Uвих = Uвх (1 – e-at).
Подставляя значения величин, получаем Uвих = 27 (1 – e-10 t).

Понятие о передаточной функции звена.

Передаточной функцией звена называется отношение изображения функции сигнала на выходе звена Y(р) к изображению функции возмущающего воздействия на входе той же звена Х (р) при нулевых начальных условиях. %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9(1.2)
Передаточные функции служат для анализа отдельных звеньев, а также АСР в целом.
Например, если звено описывается дифференциальным уравнением%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9,
или в операторной форме (T p + l) Y(p) = k X(p), то передаточная функция звена будет выглядеть%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9.

Безынерционные звена.

Безынерционным звеном называется такое звено, в которой исходная величина в пропорциональна входной х, то есть исходная величина воспроизводит без искажений и
запаздываний входную величину у = kx, (1.3)
где k — коэффициент преобразования или коэффициент передачи цепи.
Переходный процесс в такой звене отсутствует. В этом звене скачкообразное изменение входной величины мгновенно передается на выход звена.
Передаточная функция безынерционной звена W (p) = k. (1.4)
Примерами безынерционных звеньев является механический редуктор, потенциометр, механические пружины, электронная усилительная лампа, полупроводниковый триод, сельсины, трансформатор, жесткий рычаг и др.

Интегрирующее звено.

Интегрирующей называется такое звено, в котором выходная величина в пропорциональна интегралу по времени от входной величины %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9, (1.5)
где k — коэффициент усиления интегрирующего звена. Можно также дать и другое определение. Интегрирующей называется такое звено, в которой скорость изменения выходной величины пропорциональна входной величине и которое описывается дифференциальным уравнением первого порядка. %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9(1.6)
Чтобы найти передаточную функцию интегрирующего звена, необходимо дифференциальное уравнение (1.6) записать в операторной форме, заменив при этом %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9на р. Тогда уравнение (1.6) в операторной форме будет иметь следующий вид р Y(p) =k X(p), откуда передаточная функция звена. %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9(1.7)
К интегрирующих звеньев можно отнести электрический двигатель постоянного тока с независимым возбуждением при условии, что электромеханическая и электромагнитная постоянные времени относительно малые и ими можно пренебречь (входной величиной является напряжение якоря, а выходной — угол поворота вала электродвигателя) конденсатор, который заряжается током (входной величиной является ток, а выходной — напряжение на конденсаторе) поршневой гидравлический исполнительный двигатель при пренебрежении массой и силами трения (входной величиной является скорость подачи жидкости в цилиндр, а выходной — перемещение поршня) идеальный дроссель с нулевым активным сопротивлением (входной величиной является напряжение, а выходной — ток) и др.

Инерционная (апериодическая) звено первого порядка.

Это такое звено в которой при скачкообразном изменении входной величины х выходная величина в по экспоненциальному закону стремится к новому установившегося значения. Данная звено имеет свойство накапливать энергию и описывается обычным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами
%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9, (1.8)
где Т и k — постоянные коэффициенты, которые зависят от принципа действия элемента и его конструкции. Заменив d/dt на р, запишем дифференциальное уравнение (1.8) в операторной форме T p Y(p) + Y(p)= k X(p), откуда передаточная функция звена
%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9. (1.9)
Примерами инерционных звеньев первого порядка является генератор постоянного тока с независимым возбуждением (входной величиной служит напряжение возбуждения, а выходной — напряжение якоря генератора); термопара (входная величина — температура окружающей среды, а исходная величина — термо-ЭДС) пассивные четырехполюсники, состоящих из индуктивности и емкости (LC-контур) или сопротивления и емкости (LС-контур) электрические двигатели (входная величина — ток якоря, а исходная величина — угловая скорость) и др.

Инерционная (апериодическая) звено второго порядка.

Уравнения динамики для этого звена можно записать в следующем виде:
%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9 (2)
где Т — постоянная времени; σ — коэффициент затухания; k — коэффициент передачи.
В зависимости от значения коэффициента затухания, который принимает значение 0 ≥ σ> 1 или 0 ≥ σ <1, исходное значение в может изменяться по экспоненте (σ> 1), совершать незатухающие (σ = 0), затухающие (σ <1) и растущие (σ <0) колебания.

Запишем дифференциальное уравнение (2) в операторной форме при нулевых начальных условий T 2 p2+2 σ T p + 1) Y(p) = k X(p), откуда передаточная функция звена. %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9(2.1)
Апериодическим звеном второго порядка называется такое звено, у которого корни характеристического уравнения является вещественными отрицательными (равными или неравными). В этой звена коэффициент затухания σ> 1. Она может быть разложено на две апериодические звенья первого порядка, соединенных последовательно.

Колебательное звено.

Передаточная функция колебательного звена так же, как апериодического звена второго порядка, выражается формулой (2.1), но в этой формуле σ <1. В колебательного звена корни характеристического уравнения является комплексно-сопряженными. Колебательное звено — это звено, в которой при подаче на вход возмущающего действия в виде единичного скачка исходная величина стремится к новому установившегося значения, совершая при этом затухающие либо не затухающие колебания. Это звено является как бы соединением двух элементов, которые способны запасать и взаимно обмениваться энергией.

К колебательных звеньев относятся механические устройства, обладающие массой, упругостью и вязким трением (например, центробежный механизм, двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, способен накапливать кинетическую энергию в якоре и электромагнитную энергию в магнитном цепи) и электрические колебательные RLС-контуры.

Дифференцирующие звено.

Дифференцирующие звено — звено, в котором выходная величина в пропорциональна скорости изменения входной величины х, то есть исходная величина пропорциональна производной от входной величины. Различают идеальные и реальные дифференцирующие звенья. Дифференциальное уравнение для идеальной дифференцируя звена записывается в виде. %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9(2.2)
где dx/dt — производная, скорость изменения входной величины.

Запишем уравнение (2.2) в операторной форме при нулевых начальных условий
Y(p)= k p X(p).                                              (2.3)

Откуда передающая функцию идеальной дифференцируя звена
W(p)= k p.                                 (2.4)

Примером такого звена могла служить CR-Ланка, если бы в ней сопротивление R = 0 и выходное напряжение снималась бы с этого сопротивления. Идеальную дифференцируя звено практически осуществить невозможно, поэтому в технике применяются реальные дифференцирующие звенья. Последние обладают инерционностью и у них есть потери энергии. Дифференциальное уравнение для реальной дифференцируя звена можно записать так, %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9(2.5)
где Т и k — постоянные коэффициенты.

Заменив в уравнении (2.5) d/dt на р, получим уравнение в операторной форме при нулевых начальных условий (T p + 1)Y(p) = k T p X(p), откуда передаточная функция звена %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9 (2.6)
Примерами реальных дифференцирующих звеньев могут служить трансформатор; СR-контур, где исходной величиной является напряжение снимается с сопротивления R; цепь с активным сопротивлением и индуктивностью, где исходной величиной является напряжение снимается с индуктивности L.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

CAPTCHA image
*