Понятие устойчивости автоматической системы регулирования (АСР)

В реальных условиях АСР не может все время оставаться в постоянном режиме, так как на нее все время действуют внешние возмущения, которые стремятся изменить значение регулируемого параметра. Автоматический регулятор в свою очередь также стремится привести значение регулируемого параметра с заданным. Переход автоматического регулятора, то есть всей системы в целом, из одного состояния в другое осуществляется не мгновенно, а через переходные процессы, которые зависят от параметров. Следует заметить, что исследования установившегося режима дает возможность решить вопрос о пригодности АСР для проведения какого-либо процесса с заданной точностью. Однако для практического использования этого недостаточно. Пригодность любой АСР в первую очередь определяется устойчивостью и приемлемым качеством процесса регулирования.

Устойчивостью называется способность системы возвращаться к заданному устойчивого состояния после приложения или снятия внешнего возмущения.
Известно, что каждый из режимов работы АСР, уже установился, является равновесным состоянием. Различают три вида равновесных состояний: устойчивый, неустойчивый и равнодушен. Для решения вопроса, устойчивое равновесие какой-либо статической системы, необходимо изучить поведение этой системы при небольших отклонениях от состояния равновесия.

 

%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9Рисунок 1 — К объяснения равновесного состояния: а — устойчивый; б — неустойчивый; в — равнодушен.

Например в устойчивом равновесном состоянии (рисунок 1, а) при любом малом отклонении шарика от начального положения А0 влево или вправо в положение A1 появляется сила F1, которая стремится вернуть шарик обратно.

Пример неустойчивого равновесного состояния приведен на рисунке 1, б. Предположим, что шарик лежит на возвышении. После отклонения его от равновесного состояния А0 шарик не вернется в исходное состояние, поскольку возникающая сила F1 стремится еще больше отклонить его от состояния равновесия.

На рисунке 1, в приведен пример безразличного равновесного состояния. Допустим шарик находится на плоскости. После отклонения шарики от равновесного состояния А0 она займет один из новых равновесных состояний (A1, A2, …, Ап). В этом случае шарик может иметь бесчисленное множество равновесных состояний.

Устойчивость АСР является важнейшим показателем процесса регулирования. Стойкостью в «малом» называют устойчивость системы при бесконечно малых отклонениях. Если линейная АСР устойчива в «малом», то она обязательно стойка в «большом». Российский ученый А. М. Ляпунов дал математическое определение и ввел понятие об устойчивости АСР в «малом» с помощью линеализованого уравнения. Система называется устойчивой в «малом», если она возвращается в состояние равновесия при ограниченных значениях возмущающих воздействий. Система называется устойчивой в «большом», если она возвращается в состояние равновесия при любом значении возмущающего действия.

Критерии устойчивости

Прежде чем перейти к критериям устойчивости, покажем порядок составления характеристического уравнения. Из курса высшей математики известно, что линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами без правой части
yn) + p1 y(n-1) + p2 y(n-2) +  … + pn y = 0                                 (1.1)
решается с помощью характеристического уравнения
rn + pl rn-1 + p2 rn-2 + …+ рп = 0.                                 (1.2)

К примеру. Найти решение дифференциального уравнения
8у» + 2у’ — 3у = 0 де   у’ = dy/dty» = d2y/dt2. Искать решение вида у = ert. Составим характеристическое уравнение 8 r2 + 2r — 3 = 0.
Найдем корни характеристического уравнения r1=1/2;   r2 = -3/4.

Общее решение уравнения будет иметь следующий вид
%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9, где C1 и С2 — постоянные интеграции.

Анализ устойчивости АСР сводится к задаче чистой алгебры, то есть к определению знака корней характеристического уравнения. Следует заметить, что просто решаются только уравнения не выше второго порядка, а уравнения выше второго порядка решаются аналитически сложно, причем уравнения высших порядков вообще не имеют аналитического решения и решаются лишь приблизительно. Для облегчения исследования устойчивости можно и не решать характеристические уравнения, но при этом необходимо использовать косвенные методы определения знаков корней, которые получили название критериев устойчивости. Последние делятся на две группы: алгебраические (Вышнеградского, Рауса, Гурвица) и частотные (Михайлова, Найквиста, метод логарифмических частотных характеристик, метод переходной функции).

Критерии алгебры в основном применяются для исследования АСР, которые описываются уравнением четвертого порядка не выше. Частотные критерии, имея большую наглядность, чаще всего применяются для тех случаев, когда требуется установить влияние какого-либо параметра на устойчивость АСР, а также для систем, описываемых дифференциальными уравнениями выше четвертого порядка. Все критерии устойчивости дают возможность установить следующее: негативные вещественные части всех корней характеристического уравнения. Выбор критерия зависит от конкретных условий.
В качестве примера алгебраической критерия устойчивости рассмотрим критерий, предложенный в 1876 г.. Российским ученым И. А. Вышнеградского. Этот критерий разработан для АСР с дифференциальным уравнением третьего порядка.

Например: предположим, что характеристическое уравнение третьего порядка данное a3 r3 + a2 r2 + a1 r1 + a0 = 0. Разделим все члены уравнения на а0
%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9 (*). Введем новую переменную%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9, %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9где.
Подставив в формулу (*) вместо r значение и сделав преобразования, запишем уравнение в форме Вышнеградского
q3 + A q2 + B q + 1 = 0, где %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9, %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9— параметры Вышнеградского.
Критерий устойчивости Вышнеградского можно сформулировать следующим образом: АСР, описываемая дифференциальным уравнением третьего порядка, является устойчивой, если параметры А и В положительные и произведение их АВ более 1; А> 0; В> 0 и АВ> 1.

%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9

Рисунок 2

Построим плоскость с параметрами A и В и нанесем предел устойчивости. Уравнение границы устойчивости можно записать так: АВ = 1 (при A> 0 и В> 0). Предел устойчивости, который является равносторонней гиперболой, строится по точкам. Например, если А = 2, то В = 1 / А = ½ = 0,5 и т. д. Равностороннего гипербола, для которой А и В является асимптотами, делит плоскость на две части: С — устойчивая часть, Н — неустойчивая. Приведенный график часто называется диаграммой Вышнеградского.

При исследовании устойчивости АСР высокого порядка часто применяют частотный критерий, предложенный А. В. Михайловым в 1938 г.. Критерий Михайлова так же, как и критерий Вышнеградского, основанный на использовании характеристического уравнения системы.

К примеру:
Для простоты возьмем характеристическое уравнение третьего порядка r3 + 2r2 + 8r + 5 = 0.
1. Заменой r на получим ()3 — 2()2 + 8 + 5 = 0.
2. После преобразований (5 — 2ω2) — j (8 ω — ω3) = 0.
3. Выделим действительную и мнимую части R(ω) = 5 — 2 ω2;  S(ω)= 8 ω – ω3.
4. Составим таблицу для R (ω) и S (ω) при различных значениях ω (от 0 до ∞),

Таблица 1

ω 0 1 2 3 4 и т.д.
R(ω) 5 3 -3 -13 -27
S(ω) 0 7 8 -3 -32

5. В масштабе строим точки на комплексной плоскости и соединяем их плавной кривой.

%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9

Рисунок 3

Отметим, что АСР устойчива, если:
1) вектор годографа при изменении частоты от 0 до ∞ начинает свое движение с точки положительной вещественной полуоси (R);
2) вектор вращается только против часовой стрелки;
3) нигде вектор не обращаются в ноль;
4) вектор проходит последовательно п квадрантов комплексной плоскости, то есть поворачивается на угол n π/2, где n — найбильшa степень характеристического уравнения.

Если хотя бы одно из этих условий не соблюдается, то АСР является неустойчивой или нейтрально устойчивой. Для выше приведенного примера АСР устойчива, так как соблюдаются все четыре условия.
Для суждения о степени близости АСР до предела устойчивости обычно пользуются запасами устойчивости.

%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9

Рисунок 4 — запасы устойчивости по фазе γ и амплитуде ΔL.

Запасом устойчивости по фазе называется значение γ, на которое должно вырасти запаздывания по фазе на частоте среза ωзр в АСР, чтобы система оказалась на грани устойчивости.

Запасом устойчивости по амплитуде называется значение ΔL допустимого подъема ЛАЧХ, при котором АСР окажется на грани устойчивости.
При проектировании АСР рекомендуется выбирать γ ≥ 30 °, а ΔL ≥ 6 дБ.
Система может быть устойчивой, но ее качественные показатели не удовлетворяют заданным требованиям (большое время регулирования, большой выброс и т.д.). В этом случае систему необходимо скорректировать, ввести корректирующие устройства.

Корректирующего устройства

Параллельные корректирующие устройства включаются в схему параллельно одному или нескольким звеньям АСР и являются местными обратными связями, к которым относятся жесткие и гибкие обратные связи.

%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9

Рисунок 5 ПП — устройство сравнения величин.

Пример. Жесткий обратной связи (безинерционный) охватывает апериодическую звено (инерционное звено первого порядка). В этом случае обратная связь осуществляется путем подачи на вход звена действия, пропорциональной только исходной величине этого звена.

Запишем для указанного примера, согласно формуле, эквивалентную передаточную функцию для отрицательной обратной связи двух включенных встречно-параллельно звеньев: апериодического звена с передаточной функцией k/(Tp + 1) и звена, является жестким обратной связью с функцией β:
%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9 . (1.3)
Умножив числитель и знаменатель выражения (1.3) на ТР + 1 и сделав преобразования, получим %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9(1.4)
Разделив числитель и знаменатель на 1 + kβ, получим
%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9. (1.5)
где:%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9
На основании выражения можно отметить, что эквивалентная звено выходит также апериодической, но при этом меняется коэффициент усиления kекв и постоянная времени Текв, При наличии отрицательной обратной связи происходит уменьшение коэффициента усиления (kекв <k) и увеличение быстродействия, поскольку Текв <Т.
Аналогично рассуждая, можно записать эквивалентную функцию для апериодического звена, охваченной положительной обратной связью
%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9 (1.6)
Разделив числитель и знаменатель на 1- k β, получим
%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9 . (1.7)
где:%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9
При наличии положительной обратной связи происходит увеличение коэффициента усиления (kекв> k) и уменьшение быстродействия, поскольку (Текв> Т).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

CAPTCHA image
*