Динамические характеристики звеньев

Первым видом динамических характеристик звеньев АСР является временная (переходная) характеристика, а вторым — частотная характеристика. Временная (переходная) характеристика звена является графиком изменения во времени выходной величины звена, вызванной подачей на его вход единичного скачка.

Например, временную или характеристику переходного процесса инерционной (апериодической) звена первого порядка можно получить следующим образом.

 

%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9Рисунок 1 — Временная характеристика АСР.

На вход звена подается единичный скачок x (t) = 1 (0). Тогда исходная величина будет иметь вид экспоненты, направление которой зависит от направления возмущающего действия. Постоянная времени Т, определяет динамические свойства данного звена, может быть определена по временной характеристике. В этом случае с точки 0 проводят касательную 0А до временной характеристики y = f (t). Тогда время Т равен отрезку, которою отсекает касательная на прямой, параллельной оси абсцисс, проведенной на уровне уст.

Чем меньше Т, тем быстрее протекает переходный процесс, и наоборот. При t = T значение выходной величины составляет 0,63 уст нового установившегося значения.
Частотная характеристика звена описывает стали вынужденные колебания на выходе звена, вызванные гармоничной действием на входе. Рассмотрим такой режим. Гармоничная действие входа синусоидального закона х (t) = A1 sin ωt, где A1 — амплитуда; ω = 2 π f — угловая частота этого действия.

%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9

Рисунок 2 — График гармонических колебаний входного и выходного величин.

После окончания переходного процесса на выходе звена существовать гармонические колебания той же частоты, что и входные колебания, но разной амплитуды и фазы. В установившемся режиме выходная величина звена у = A2 sin (ωt + φ), где A2 — амплитуда выходных постоянных колебаний; φ — фазовый сдвиг между входными и выходными колебаниями.
При фиксированной (неизменной) амплитуде входных колебаний амплитуда и фаза постоянных колебаний на выходе звена зависят от частоты входных колебаний.
Запишем входящую и исходящую величины звена в комплексной показательной форме: %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9

Разделив исходную величину звена на входную, получим выражение частотной функции, %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9 (1.1)
где%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9 — модуль, отношение амплитуд выходного и входного колебаний;
е = 2,71 … — основание натурального логарифма;
φ (ω) — аргумент (разность фаз выходного и входного колебаний).

Модуль А (ω) и аргумент φ (ω) частотной функции W (jω) зависят от частоты ω.
В общем случае частотная функция выходит из передаточной функции путем замены оператора р на jω. По выражению (1.1) чаще всего строится амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) звена, определяемая как отношение исходной величины звена%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9 к входной величине%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9, выраженной в комплексной форме. Эта характеристика звена не зависит от времени и показывает зависимость изменения амплитуды колебаний исходной величины и аргумента от частоты (при постоянной амплитуде колебаний на входе звена).

Кроме АФХ, которая является совмещенной, различают амплитудно-частотную и фазочастотных характеристики. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) звена показывает зависимость модуля А от частоты колебаний, на входе А = f (ω). Фазочастотная характеристика (ФЧХ) звена показывает зависимость аргумента φ от частоты колебаний, подаваемых на вход φ = f (ω). Указанные характеристики дают возможность судить о динамических свойствах звеньев АСР.

Отметим, что динамические свойства звеньев АСР можно характеризовать временными (переходными) или частотными характеристиками. При построении частотных характеристик вместо натуральных значений модуля А и частоты ω применяют их логарифмы, сохраняя натуральные значение только для аргумента. Основное преимущество асимптотических логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ) заключается в том, что точные характеристики заменяются приближенными асимптотами, состоящих из прямолинейных отрезков, поэтому асимптотическая ЛЧХ строится удобнее, чем истинная ЛЧХ.

Логарифмические характеристики применяются для приближенных расчетов. При построении логарифмических характеристик пользуются понятиями «октава» и «декада». Октаве соответствует увеличению частоты ω в 2 раза, декаде — в 10. Октава равна примерно 1/3 декады, поскольку lg2 ≈ 0,3, а lg 10 = 1. В начале координат на оси абсцисс можно помещать любое значение частоты. Это зависит от того, в каком диапазоне частот необходимо строить частотную характеристику.

Различают логарифмическую амплитудно-частотную (ЛАЧХ) и логарифмическую фазочастотную (ЛФЧХ) характеристики. При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают значения логарифмов частоты lgω, а по оси ординат откладывается модуль частотной функции W (ω) в децибелах, то есть L = 20 1gA. Увеличение 201gA на каждые 20 дБ соответствует изменению усиления (ослабления) амплитуды в 10 раз, а на 1 дБ — в 1,12 раза. Если модуль A> 1, то происходит усиление амплитуды, а если A <1, то происходит ослабление. При построении ЛФЧХ по оси абсцисс откладывают значения логарифмов частоты, а по оси ординат — натуральные значения аргумента в градусах.

Прежде чем построить частотные характеристики инерционного звена первого порядка, необходимо найти частотную функцию, значит, если например, в формуле передаточной функции %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9заменить р на jω.

Тогда частотная функция данного звена будет иметь вид %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9(1.2)
Умножим числитель и знаменатель (1.2) на связанную со знаменателем комплексную величину (1 — T jω) получим, %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9, где j 2= -1.

%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9

Рисунок 3 — Вид передаточной функции на комплексной плоскости.

Разделив действительную и мнимые части, получим, %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9(1.3), где %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9и %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9— соответственно действительно R(ω) и мнимая S(ω) части частотной функции инерционного звена первого порядка.

%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9

Рисунок 4 — АЧХ по выражению. 

Модуль вектора 0В (рисунок 3)
%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9(1.4).

Для построения характеристики необходимо вычислить значение А при различных значениях ω. Так, при ω = 0 модуль А равен k; при ω = 1/T; 2/T и ∞ модулей A равен соответственно 0,71k; 0,45k и 0.

%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9

Рисунок 5 — ФЧХ звена по формуле (1.5).

Подставив в формулу φ = arctg S/R значения R и S, получим выражение для определения аргумента инерционного звена первого порядка. %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9(1.5)

Если в выражение частотной функции (1.3) подставить значение модуля А и аргумента φ из формул (1.4) и (1.5), то получим уравнение, по которому можно построить АФХ данной звена (рисунок 6), то есть

%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9

Рисунок 6 — АФХ звена.

%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9(1.6).

Характеристика звена данного примера располагается в четвертом квадранте и является полукругом.
При ω = 0 W (ω) = k, а при ω = ∞ W (ω) = 0.

Годографом называется кривая, является геометрическим местом точек концов вектора W (ω), соответствующих разным значениям ω от 0 до ∞. Годограф показывает картину изменения вектора W (ω) при изменении частоты колебаний ω. По АФХ можно определить: модуль %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9 и аргумент φ = arctg (S / R).

Логарифмическая АЧХ строится следующим образом.

Сначала находятся ее асимптоты, то есть прямые, к которым она стремится при ω → 0 и при ω → ∞.
1. При ω → 0 имеем, что первая асимптота является прямой ab, параллельной оси частот, поскольку 201g k не зависящим от ω. %d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9
2. При ω → ∞ получим 20 lg А = 20 lg k — 20 lg T ω = — ∞.

%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9

Рисунок 7 — ЛАЧХ звена.

Вторая асимптота также является прямой be, наклон которой измеряется в децибелах на декаду.

Сопряжения горизонтальной прямой ab и наклонной bс в точке, соответствующей частоте ωзр = 1/Т, называется частотой сопряжения или частотой среза. Возьмем на оси абсцисс расстояние, равное одной декаде. Если раньше, например, частота ωзр была равна 1/Т, то через декаду она становится 10/Т.

С точки, соответствующей ω = 10/Т проведем перпендикуляр до пересечения с прямой be и вычислим изменение ординаты на расстоянии одной декады%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9
.
Итак, наклон асимптоты bс равный -20 дБ/дек.
Ломаная линия abc является асимптотической ЛАЧХ (линия 1). Она отличается от истинной ЛАЧХ (линия 2). Наибольшее отклонение ее будет в точке b и равно примерно 3 дБ для данного примера.

%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9

Рисунок 8 — Логарифмическая ФЧХ данной звена.

%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d1%8b%d0%bc%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9

Рисунок 9 — Логарифмические характеристики инерционного звена. а — амплитудно-частотная, б — фазовая.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

CAPTCHA image
*